Question

如图，已知三棱柱中，平面平面，，.

（1）证明：；

（2）设，，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）连结.由菱形得对角线垂直，再由已知及面面垂直的性质定理得线面垂直平面，平面，从而，于是证得线面垂直后再得线线垂直；

（2）取的中点为，连结，证得与都垂直后，以为原点，为正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，则法向量夹角得二面角，注意要判断二面角是锐角还是钝角．

（1）连结.

∵，四边形为菱形，∴.

∵平面平面，平面平面，

平面，，

∴平面.

又∵，∴平面，∴.

∵，

∴平面，而平面，

∴

（2）取的中点为，连结.

∵，四边形为菱形，，∴，.

又由（1）知，以为原点，为正方向建立空间直角坐标系，如图.

设，，，，

∴（0，0，0），（1，0，），（2，0，0），（0，1，0），（-1，1，）.

由（1）知，平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，则，∴.

∵，，∴.

令，得，即.

∴，

∴二面角的余弦值为