Question

设椭圆（）的左右顶点为，上下顶点为，菱形的内切圆的半径为，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点满足，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.

Answer

（1） （2）直线、与圆相切，证明见解析

【解析】

（1）由离心率得，用两种方法表示出菱形的面积可求得，得椭圆方程；

（2）设，.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程，用韦达定理得，利用，即得的关系，求出圆心到直线的距离可得直线与圆的位置关系．直线的斜率不存在时，直接计算可得，由对称性的结论也可得．

（1）设椭圆的半焦距为.由椭圆的离心率为知，.

设圆的半径为，则，

∴，解得，∴，

∴椭圆的方程为

（2）∵关于原点对称，，∴.

设，.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

由直线和椭圆方程联立得，即，

∴.

∵，，

∴

，

∴，，

∴圆的圆心O到直线的距离为，∴直线与圆相切.

当直线的斜率不存在时，依题意得，.

由得，∴，结合得，

∴直线到原点O的距离都是，

∴直线与圆也相切.

同理可得，直线与圆也相切.

∴直线、与圆相切