Question

已知函数（为自然对数的底数）.

（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；

（2）设方程（）有两个实数根，，求证：.

Answer

（1）， （2）证明见解析

【解析】

（1）由求得函数零点，由导数的几何意义可求得切线方程；

（2）根据导函数研究出函数的单调性，只有在时，，因此，考查（1）中切线，先证明（），只要构造函数在上单调递增，易得证，方程的解为，（不妨设，则），要证不等式变形为证明，即证，由，，构造函数，结合导数知识可证．

（1）由，得，∴函数的零点是.

，，.

曲线在处的切线方程为.

，，

∴曲线在处的切线方程为

（2）.

当时，；当时，.

∴的单调递增区间为，单调递减区间为.

由（1）知，当或时，；当时，.

下面证明：当时，.

当时，

.

易知，在上单调递增，

而，

∴对恒成立，

∴当时，.

由得.记.

不妨设，则，

∴.

要证，只要证，即证.

又∵，∴只要证，即.

∵，即证.

令.

当时，，为单调递减函数；

当时，，为单调递增函数.

∴，∴，

∴