Question

已知函数，.

（1）求直线与曲线相切时，切点的坐标；

（2）当时，恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）（1，0）（2）

【解析】

求出函数的导函数,设所求切点的坐标为,利用导数的几何意义可得切线的斜率为，再由切点满足函数和，从而得到关于的方程组,解方程即可;

当时，恒成立，等价于对恒成立.

构造函数，则，，

分两种情况和利用导数讨论函数单调性及最值即可.

因为函数，所以，

设直线与曲线相切的切点的坐标为，

则，整理化简得.

令，则，

∴在上单调递减，

∴由零点存在性定理可得,在最多有一个实数根.

又∵，∴，此时，

即切点的坐标为（1，0）.

（2）当时，恒成立，等价于对恒成立.

令，则，.

①当，时，，

∴，在上单调递增，因此符合题意.

②当时，令得.

由与得，.

∴当时，，单调递减，

∴当时，，不符合题意；

综上所述得，的取值范围是.