Question

已知数列满足，且.

（1）求的通项公式和它的前n项和；

（2）若关于正整数k的不等式恰有两个不相同的解，求实数的取值范围.

Answer

（1），；（2）.

【解析】

（1）将的等号两边同除以，由此分析是否为特殊数列，从而求解出的通项公式并利用错位相减法进行求和；

（2）根据解的情况，结合的单调性先判断出的取值，再由的取值分析得到的取值.

（1）因为，所以，所以，

所以是公差为的等差数列，且，所以，

且，所以，所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以；

（2）因为，所以，

所以，

当时，，所以递增，当时，，所以递减，

所以，

所以，且，，，

又因为恰有两个不同的解，所以可知，

所以，所以.