Question

已知点在双曲线（，）上，且双曲线的一条渐近线的方程是．

（1）求双曲线的方程；

（2）若过点且斜率为的直线与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围；

（3）设（2）中直线与双曲线交于两个不同的点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值．

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题(1)要求双曲线的标准方程，必须找到关于的两个等式，题中一条渐近线方程为，说明，这是一个等式，点在双曲线上，那么此点坐标适合双曲线方程，代入进去又可得到一个等式，这样可解得；(2)直线与双曲线有两个不同的交点，直接把直线方程与双曲线方程联立方程组，此方程组有两解，方法是消去一个元，得到关于的二次方程，此方程是二次方程有两个不等的实根，则；(3)题设条件说明，如果设，则有，可用表示出来，而在(2)中可用表示出来，代入刚才的等式，得到的方程，可解得．

试题解析：(1)由题知，有

解得

因此，所求双曲线的方程是．

(2)∵直线过点且斜率为，

∴直线：．

联立方程组得．

又直线与双曲线有两个不同交点，

∴

解得．

(3)设交点为，由(2)可得

又以线段为直径的圆经过坐标原点，

因此，为坐标原点）．

于是，即，，

，解得．

又满足，且，

所以，所求实数．