Question

定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”；如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，已知椭圆.

（1）若椭圆，判断与相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；

（2）写出与椭圆相似且焦点在轴上，短半轴长为的椭圆的标准方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围；

（3）如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点，试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法.（不必证明）

Answer

（1）椭圆与相似，相似比为；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）由题意椭圆与相似，由椭圆的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，能求出与的相似比．

（2）椭圆的方程为：，，设直线，点，，，，中点为，，由，得，由此利用韦达定理、根的判别式能求出实数的取值范围．

（3）法1：过原点作直线，交椭圆和椭圆于点和点，得到和即为所求相似三角形，且相似比为．

法2：过点、点分别做轴（或轴）的垂线，交椭圆和椭圆点和点，得到和即为所求相似三角形，且相似比为．

【解析】
（1）椭圆与相似．

因为，

因为，

因为椭圆的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，

而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，

因此两个等腰三角形相似，且相似比为．

（2）椭圆的方程为：，，

设直线，点，，，，中点为，，

则，，

则，，

中点在直线上，，，

即直线的方程为：，

由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点，

即方程有两个不同的实数解，

，即．

（3）作法1：过原点作直线，交椭圆和椭圆于点和点，

则和即为所求相似三角形，且相似比为．

作法2：过点、点分别做轴（或轴）的垂线，交椭圆和椭圆点和点，

则和即为所求相似三角形，且相似比为．