Question

已知曲线的方程为，集合，若对于任意的，都存在，使得成立，则称曲线为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号）

①；②；③；④；⑤.

Answer

①③⑤

【解析】

对于任意，存在，使成立，即成立.①表示的是椭圆，根据椭圆关于原点中心对称判断.②表示双曲线，可取特殊点 判断.③表示抛物线，根据其图象关于x轴对称判断.④根据其图形，可取特殊点判断.⑤由，可得或点，根据过原点一定有一条直线与之垂直来判断.

对于任意，存在，使成立，即.成立.

对于①，∵的图象关于原点中心对称，∴对于任意，存在，使.故为曲线；

对于②，当为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点，使.故不是曲线；

对于③，其图象关于x轴对称，的垂线一定与抛物线相交，故为曲线；

对于④，当为时，曲线上不存在点，使.故④不是曲线；

对于⑤，由可得或点，∴对于任意，存在，使.故为曲线.

故答案为:①③⑤.