Question

如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，⊥底面，为的中点，与平面所成的角为.

（1）求证:；

（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；

（3）若直线､与平面所成角分别为，求的值.

Answer

（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

（1）由平面，则 .又，得到平面，而平面，所以.

（2）由（1）可知平面，所以为与平面所成的角.再由，得到.，然后建立空间直角坐标系，分别求得，，再代入线线角的向量法公式求解.

（3）先求平面的一个法向量，再求得，，利用线面角的向量方法，求得，即可.

（1）∵平面，平面，

∴.

∵四边形是正方形，

∴.又平面，平面，，

∴平面，

∵平面，

∴.

（2）由（1）可知平面，

∴为与平面所成的角.

∴，∴.∴.

如图：

以为原点，以为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.

∴，.

.

∴异面直线与所成的角为.

（3）∵，，

∴，，.

设平面的法向量为，

则，即，

令得.

∴，

.

∴，.

∴.