Question

已知函数是定义在区间上的奇函数，且，若对于任意的m，有.

(1)判断函数的单调性（不要求证明）；

(2)解不等式；

(3)若对于任意的，恒成立，求实数t的取值范围.

Answer

(1)函数在区间上是减函数；(2)；(3).

【解析】

（1）设，化简得到，结合函数的单调性的定义，即可得到结论；

（2）由(1)知函数在区间上是减函数，根据，列出不等式组，即可求解不等式的解集；

(3)要使得对于任意的，都有恒成立，只需对任意的，恒成立，再结合关于a的一次函数的性质，即可求解.

（1）函数在区间上是减函数.

证明：由题意可知，对于任意的m，有，

设，则，即，

当时，，所以函数在上为单调递减函数；

当时，，所以函数在上为单调递减函数，

综上，函数在上为单调递减函数.

（2）由(1)知函数在区间上是减函数，

因为，可得，解得解得，

所以不等式的解集为.

(3)因为函数在区间上是减函数，且，

要使得对于任意的，都有恒成立，

只需对任意的，恒成立.

令，此时y可以看作a的一次函数，且在时，恒成立.

因此只需，解得解得，

所以实数t的取值范围为.