Question

如图，在四棱锥中，底面的边长是的正方形，，，为上的点，且平面.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

(1)先证明平面,即证明垂直平面中的两条直线即可.

(2)取的中点,证明直线与平面所成角为,再求解的长度求的正弦值即可.

证明：（1）∵平面,平面,

∴,∵ ,∴平面,

∵平面∴.∵是正方形,∴,

∵,,∴平面,

∵平面,∴平面平面.

（2）取的中点,连接,,∵,∴,

∵平面平面,平面,

平面平面,∴平面,

∴是在平面内的射影.

∴就是与平面所成的角,

在等腰中,∵,是的中点,∴,

在中,∵,,

∴,∴,

∴.