Question

已知数列中，，前项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）的最小值为

【解析】

试题（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的.（3）在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带来方便，掌握常见求和方法，如分组转化求和，裂项法，错位相减.

试题解析：（1）∵

∴

∴

整理得

∴

两式相减得

即

∴，

即

∴数列是等差数列

且，得，则公差

∴

（2）由（1）知

∴

∴

则要使得对一切正整数都成立，只要，所以只要

∴存在实数，使得对一切正整数都成立，且的最小值为.