Question

已知函数

(1)求的单调区间；

(2)若

（i）证明恰有两个零点；

（ii）设为的极值点，为的零点，且证明：.

Answer

(1)在和上单调递增；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【解析】

(1)对函数求导,利用导数研究单调性即可;

(2)(i)对求导研究其单调性,可得在上单调递减,在上单调递增,其中,再证明,而,,故利用零点存在性定理即可证明恰有两个零点;

(ii)由(i)可知,且故结合即可求出,从而得到,再利用不等式(),即可放缩等式,得出结论.

(1)

,

因此,在和上单调递增;

(2)(i),

对求导得,,

当时,,则;

当时,令

则在上单调递增,

而,

故存在,使,即,

且在上,在上,

因此,在上单调递减,在上单调递增,

所以,

又,则,

而,

,(注:取值不唯一)

恰有两个零点;

(ii)为的极值点,为的零点,且,

故由(i)可知,并且有

,

则,

因此,即,

而当时,,

下面证明此结论:

令,求导得,

则在上时,;在上时,,

所以在上单调递减,在上单调递增,

因此,

所以,当时,

那么对于有,

可得,而,

即.