Question

如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；

(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.

(1)如图所示，连结，

等边中，，则，

平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，

由面面垂直的性质定理可得：平面，故，

由三棱柱的性质可知，而，故，且，

由线面垂直的判定定理可得：平面，

结合⊆平面，故.

(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.

设，则，,，

据此可得：，

由可得点的坐标为，

利用中点坐标公式可得：，由于，

故直线EF的方向向量为：

设平面的法向量为，则：

，

据此可得平面的一个法向量为，

此时，

设直线EF与平面所成角为，则.