Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA₁＝3，D是BC的中点．

(1) 求直线DC₁与平面A₁B₁D所成角的正弦值；

(2) 求二面角的余弦值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

(1)以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面A1B1D的法向量的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解；

(2) 由(1)知＝(－1，2，3)，＝(－2，4，0)，求得平面B1DC1的法向量，利用下向量的夹角公式，即可求解.

(1) 在直三棱柱中，有AB⊥AC，AA1⊥AB，AA1⊥AC，

故可以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为AB＝2，AC＝4，AA1＝3，

所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3)．

因为D是BC的中点，所以D(1，2，0)，所以．

设(x1，y1，z1)为平面A1B1D的法向量，

因为，

所以，即，

令y1＝3，则x1＝0，z1＝2，所以平面A1B1D的一个法向量为 (0，3，2)．

设直线DC1与平面A1B1D所成的角为θ，

则，

所以直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值为.

(2) 由(1)知＝(－1，2，3)，＝(－2，4，0)，

设＝(x2，y2，z2)为平面B1DC1的法向量，则，即,

令x2＝2，则y2＝1，z2＝0，所以平面B1DC1的一个法向量为＝(2，1，0)．

同理可以求得平面A1DC1的一个法向量n3＝(3，0，1)，

所以，

由图可知二面角的余弦值为.