Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD的边长AB＝3，侧棱AA₁＝2，E是棱CC₁的中点，点F满足 ＝2.

（1）求异面直线FE和DB₁所成角的余弦值；

（2）记二面角E-B₁F-A的大小为θ，求|cosθ|.

Answer

（1）.（2）.

【解析】

（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解.

（2）先求得平面B1FE的一个法向量，易知平面AB1F的一个法向量，再利用面面角的向量方法求解.

（1） 在正四棱柱ABCDA1-B1C1D1中，

以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

因为AB＝3，AA1＝2，

E是CC1的中点， ＝2，

所以E(0，3，1)，F(3，2，0)，B1(3，3，2).

从而＝(－3，1，1)，＝(3，3，2)．

设异面直线FE和DB1所成的角为α，

则cosα＝|cos〈，〉|＝＝＝.

因此，异面直线FE和DB1所成角的余弦值为.

（2）设平面B1FE的法向量为＝(x,y,)．

因为＝(－3，1，1)，＝(0，1，2)，

由得所以

取z＝－3，则平面B1FE的一个法向量为＝(1，6，－3)．

又因为平面AB1F的一个法向量为＝(1，0，0)，

所以cos〈，〉＝＝.

因此cosθ|＝| cos〈，〉|＝.