Question

如图，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面四边形ABCD为菱形，A₁A＝AB＝2，∠ABC＝，E，F分别是BC，A₁C的中点．

（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；

（2）点M在线段A₁D上， ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．

Answer

(1)．（2）．

【解析】

试题（1）由四棱柱，证得，进而得到，以为正交基底建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算，即可求解所成角的余弦值；

（2）设，由点在线段上，得到，得出向量则坐标表示，再求得平面的一个法向量，利用向量的数量积的运算，即可得到的值。

试题解析：

因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，所以A1A⊥平面ABCD．

又AE平面ABCD，AD平面ABCD，所以A1A⊥AE，A1A⊥AD．

在菱形ABCD中∠ABC＝，则△ABC是等边三角形．

因为E是BC中点，所以BC⊥AE．

因为BC∥AD，所以AE⊥AD．

以{，， }为正交基底建立空间直角坐标系．

则A(0，0，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，

A1(0，0，2)，E(，0，0)，F(，，1)．

（1）＝(0，2，0)，＝(－，，1)，所以·＝1．

从而cos＜，＞＝＝．

故异面直线EF，AD所成角的余弦值为．

（2）设M(x，y，z)，由于点M在线段A1D上，且＝λ，

则＝λ，即(x，y，z－2)＝λ(0，2，－2)．

则M(0，2λ，2－2λ)，＝(－，2λ－1，2－2λ)．

设平面AEF的法向量为n＝(x0，y0，z0)．

因为＝(，0，0)，＝(，，1)，

由n·＝0，n·＝0，得x0＝0， y0＋z0＝0．

取y0＝2，则z0＝－1，

则平面AEF的一个法向量为n＝(0，2，－1)．

由于CM∥平面AEF，则n·＝0，即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝．