Question

如图，已知矩形ABCD所在平面垂直直角梯形ABPE所在的平面于直线AB，且AB＝BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥AB，且AE∥BP.

（1）求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值；

（2）在线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）.（2）存在，当N在点D处时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于.

【解析】

（1）先根据题意建立空间直角坐标系，先求平面PCD的一个法向量，易知平面ABPE的一个法向量，再利用面面角的向量方法求解.

（2）假设线段PD上存在点N，设＝λ，则有＝＋＝(2λ，2－2λ，λ),再根据直线BN与平面PCD所成角α满足sinα＝.由sinα＝|cos〈，〉|＝＝即＝求解.

（1） 由AE⊥AB，且AE∥BP，得BP⊥AB.所以∠CBP是直二面角C-AB-P的平面角．

以为正交基底，建立空间直角坐标系Bxyz.

B(0，0，0)，A(2，0，0)，P(0，2，0)，E(2，1，0)，C(0，0，1)，D(2，0，1)．

＝(0，－2，1)，＝(2，0，0)．

设平面PCD的一个法向量为＝(a，b，c)，

由，不妨取＝(0，1，2)．

易知平面ABPE的一个法向量为＝(0，0，1)．

设平面PCD与平面ABPE所成的二面角的大小为θ，

则由图可知θ∈.

cosθ＝|cos〈，〉|＝＝.

所以平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值为.

（2） 假设线段PD上存在点N，使得直线BN与平面PCD所成角α满足sinα＝.

即sinα＝|cos〈，〉|＝＝.

设＝λ＝λ(2，－2，1)，其中λ∈[0，1].

＝＋＝(2λ，2－2λ，λ)．

由（1）知平面PCD的一个法向量＝(0，1，2)，

所以＝，

即9λ2－8λ－1＝0，

解得λ＝1或λ＝ (舍去)．

以当N在点D处时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于.