Question

已知函数f（x）＝ax²+bx+c（a＞0），且f（1）．

（1）求证：函数f（x）有两个不同的零点；

（2）设x₁，x₂是函数f（x）的两个不同的零点，求|x₁﹣x₂|的取值范围；

（3）求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．

Answer

（1）证明见解析（2）．（3）证明见解析

【解析】

（1）通过计算一元二次方程的判别式可以证明出结论；

（2）利用一元二次方程的根与系数关系，可以得到|x1﹣x2|的表达式，再利用配方法求出取值范围；

（3）根据零点存在原理，分类讨论证明出结论.

（1）∵，

∴，∴，

∴，

∵a＞0，

∴△＞0恒成立，

故函数f（x）有两个不同的零点．

（2）由x1，x2是函数f（x）的两个不同的零点，

则x1，x2是方程f（x）＝0的两个根．

∴，，

∴|x1﹣x2|．

∴|x1﹣x2|的取值范围是．

（3）证明：∵f（0）＝c，f（2）＝4a+2b+c，

由（1）知：3a+2b+2c＝0，

∴f（2）＝a﹣c．

（ⅰ）当c＞0时，有f（0）＞0，又∵a＞0，

∴，

∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点．

（ⅱ）当c≤0时，f（2）＝a﹣c＞0，f（1）＜0，

∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点．

综上所述，函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．