Question

矩阵乘法运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下变换成点，记，且.

（1）若平面上的点在矩阵的作用下变换成点，求点的坐标；

（2）若平面上相异的两点、在矩阵的作用下，分别变换为点、，求证：若点为线段上的点，则点在的作用下的点在线段上；

（3）已知△的顶点坐标为、、，且△在矩阵作用下变换成△，记△与△的面积分别为与，求的值，并写出一般情况（三角形形状一般化且变换矩阵一般化）下与的关系（不要求证明）.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3），若变化矩阵为，则.

【解析】

（1）直接根据矩阵变换的计算，可得点的坐标；

（2）先求变换后的坐标，再利用斜率相等，即可证得共线；

（3）求出点，，，利用行列式计算三角形面积即可.

（1）设，则，

∴解得：，

∴.

（2）设，，

∵三点共线，∴，

∵，∴，，

∵，

，

∴，∴点在的作用下的点在线段上.

（3）∵，，，

∴，，.

∴.

∴.

若矩阵为，则.