Question

对于项数为（）的有穷正整数数列,记（），即为中的最大值，称数列为数列的“创新数列”.比如的“创新数列”为.

（1）若数列的“创新数列”为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列；

（2）设数列为数列的“创新数列”，满足（），求证：（）；

（3）设数列为数列的“创新数列”，数列中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列.

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

试题（1）创新数列为1,2,3,4,4的所有数列，可知其首项是1，第二项是2，第三项是3，第四项是4，第五项是1或2或3或4，可写出；（2）由题意易得，，从而可得，整理即证得结论；（3）验证当时，不满足题意，当时，根据而得，同理，，而当时不满足题意.

试题解析：（1）所有可能的数列为；；；

（2）由题意知数列中. 又，所以 ，所以，即（）

（3）当时，由得，又所以，不满足题意；当时，由题意知数列中，又

当时，此时，而，所以等式不成立，因此；

当时，此时，而，所以等式不成立，因此；

当，得，此时数列为.

当时，，而，所以不存在满足题意的数列.综上数列依次为.