Question

已知函数的图像关于轴对称．

（1）求的定义域及实数的值；

（2）若关于的方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围．

Answer

（1），（2）

【解析】

（1）根据对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.根据的对称性判断出的奇偶性，根据函数的奇偶性列式求得的值.

（2）由（1）求得的表达式，由此化简方程，得到且，构造函数，结合二次函数零点分布问题的求解列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围.

（1）由解得，的定义域为．

依题意可知为偶函数，，

，即，

即在上恒成立，．

（2）由（1）可知，其中，

所以方程化简得，其中，

令，由题意可得，解得．

（或分离参数，数形结合可得）