Question

已知，函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的方程有两个不等的实数根，求的取值范围；

（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

Answer

（1）或；（2）；（3）.

【解析】

（1）由题意，代入，解对数不等式，即可求解.

（2）由题意，根据两对数式相等，得到真数值相等，考虑真数大于0，考虑方程有两个不等的实数根，可求解参数范围.

（3）根据题意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，则对恒成立，转化成

，对任意恒成立，根据恒成立思想，即可求解.

（1）当时，，由得，

得，即，解得或，

当时，不等式的解集为或

（2）由题意得，该问题等价于

，化简得，

即

①当时，，不合题意，舍去.

②当时，，不合题意，舍去.

③当且时，且.

由，得（且）；

由，得（且）.

依题意，若原方程由两个不等的实数根，则（且）.

故所求的取值范围为.

（3）易得，当时，在上单调递减.

故函数在区间上的最大值与最小值分别为.

则对恒成立，

即，对任意恒成立.

因为，函数的对称轴，

函数在区间上单调递增，

故时，有最小值，，得

故所求的取值范围为.