Question

如图所示的“8”字形曲线是由两个关于轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是，双曲线的左、右顶点、是该圆与轴的交点，双曲线与半圆相交于与轴平行的直径的两端点．

（1）试求双曲线的标准方程；

（2）记双曲线的左、右焦点为、，试在“8”字形曲线上求点，使得是直角．

Answer

（1）=1,（2）（），（﹣），（﹣，﹣），（，﹣）．

【解析】

试题 由于上半个圆所在圆方程是，令，求出，得双曲线的顶点，可知，又双曲线与半圆相交于与轴平行的直径的两端点，令，双曲线过点，满足双曲线方程，待定系数法求出双曲线方程；第二步由于点满足是直角，则点在以为圆心半径为的圆上，满足,把圆的方程与双曲线方程联立解出交点坐标，由于与上下两圆弧无交点，所以交点只有求出的四个 .

试题解析：（1）设双曲线的方程为，在已知圆的方程中，令，

得，即，则双曲线的左、右顶点为、，于是,令，可得，解得，即双曲线过点，则所以，

所以所求双曲线方程为.

（2）由（1）得双曲线的两个焦点，,当时，设点，

①若点在双曲线上，得，由，有则，

由，解得所以

②若点在上半圆上，则，由，得，

由无解.

综上，满足条件的点有4个，分别为.