Question

对于曲线，若存在非负实常数和，使得曲线上任意一点有成立（其中为坐标原点），则称曲线为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界成为曲线的外确界，最大的内界成为曲线的内确界．

（1）曲线与曲线是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；

（2）已知曲线上任意一点到定点，的距离之积为常数，求曲线的外确界与内确界．

Answer

（1）曲线不是“有界曲线”，理由见解析；曲线是“有界曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2）当时，曲线的外确界与内确界分别为，；当时，曲线的外确界与内确界分别为，；

当时，曲线的外确界与内确界分别为，．

【解析】

（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，数形结合得答案；

（2）由题意求出曲线的方程，进一步得到的范围，把转化为含有的代数式，分类讨论得答案．

（1）的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为，无最大值，

∴曲线不是“有界曲线”；

∵曲线的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，如图：

由图可知曲线上的点到原点距离的最小值为，最大值为，则曲线是“有界曲线”，其外确界为，内确界为；

（2）由已知得：，

整理得：，

∴，

∵，∴，∴，

∴，∴，

则，

∵，

∴，

即，

当时，，则，

∴，则曲线的外确界与内确界分别为，；

当时，，则，

∴，则曲线的外确界与内确界分别为，；

当时，，则，

∴，则曲线的外确界与内确界分别为，；

当时，，则，

∴，则曲线的外确界与内确界分别为，．

综上，当时，曲线的外确界与内确界分别为，；

当时，曲线的外确界与内确界分别为，；

当时，曲线的外确界与内确界分别为，．