Question

已知三点A(a，0)，B(0，b)，C(2，2)，其中a>0，b>0.

(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值.

(2)若A，B，C三点共线，试求a+b的最小值.

Answer

（1）a=2，b=2（2）a+b的最小值是8

【解析】

（1）由于四边形OACB是平行四边形，可得，利用坐标运算与向量相等即可得出．

（2）利用向量共线定理与基本不等式的性质即可得出．

(1)因为四边形OACB是平行四边形，

所以=，即(a，0)=(2，2-b)，

解得故a=2，b=2.

(2)因为=(-a，b)，=(2，2-b)，

由A，B，C三点共线，得∥，

所以-a(2-b)-2b=0，即2(a+b)=ab，

因为a>0，b>0，

所以2(a+b)=ab≤，

即(a+b)2-8(a+b)≥0，

解得a+b≥8或a+b≤0.

因为a>0，b>0，

所以a+b≥8，即a+b的最小值是8.

当且仅当a=b=4时，“=”成立.