Question

在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，，分别是的中点.

（1）求证：平面；     

（2）求证:平面；

（3）求三棱锥的体积.

Answer

(1) 证明见解析；(2)证明见解析；(3) .

【解析】

(1) 欲证线面平行，则需证直线与平面内的一条直线平行.由题可证,则证得平面；

(2) 欲证线面垂直，则需证直线垂直于平面内的两条相交直线.连接，可证得，从而可证得平面；

(3) 由 (2) 可知，为三棱锥的高，平面为三棱锥的底面，应用椎体体积公式即可求解.

(1) 证明：分别是的中点

，

又平面，平面

平面

(2) 如图，连接，

，是的中点，

同理

又

，又

平面

(3) 由 (2) 可知，为三棱锥的高，且，

.