Question

对于函数，若在定义域存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.

（1）已知二次函数(､)，试判断是否为“局部奇函数”?并说明理由；

（2）设是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；

（3）若 为其定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.

Answer

（1）是 ，理由见解析（2）（3）

【解析】

(1) 根据“局部奇函数"的定义，只要判断条件是否成立即可得到结论（2）根据“局部奇函数的定义，解方程，即可得到结论（3）将问题转化为方程有不小于2的根，有不大于的根两种情况，结合二次方程根的分布,从而求出m的范围.

（1）为“局部奇函数”等价于关于的方程有解．

即，

有解，

为“局部奇函数”．

（2）当时，

可转化为，

的定义域为，，

方程在，上有解，

令，

则．

在上递减，在上递增，

，

，

即．

（3）当时，，

，

由有解，

得，有解，

即，有解，

令，

由二方程根的分布可知，即可，

解得，

当时，，

，无解.

当时，则，

，

由有解，

得，有解，

即，有解，

令，

由二次方程根的分布可知，即可，

解得，

综上，实数的取值范围.