Question

已知一非零向量列满足：，.

（1）证明：是等比数列；

（2）设是，的夹角，设，，，求；

（3）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）存在，且最小值是．

【解析】

（1）求出与比较可证；

（2）由数量积计算两向量夹角，然后求得，由等差数列前项和求和；

（3）由（1）可得，从而得，确定的正负后由作商法可比较前后大小，得数列的单调性．

（1）∵，∴，

∴，

又，∴，是等比数列；

（2）

，

∴（）．又，∴，．

，∴；

（3）由（1）得，

∴，

，，当时，，

时，，

，，

∴时，，，从而时，，

所以中存在最小值，最小值为．