Question

在平面直角坐标系中，函数在第一象限内的图像如图所示，试做如下操作：把x轴上的区间等分成n个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数的图像上.若用表示第k个矩形的面积，表示这n个叫矩形的面积总和.

（1）求的表达式；

（2）利用数学归纳法证明，并求出的表达式

（3）求的值，并说明的几何意义.

Answer

（1）；（2）证明见解析，；（3）．的几何意义表示函数的图象与轴，及直线和所围曲线梯形的面积．

【解析】

（1）第个矩形的高为，面积易得；

（2）用数学归纳法证明；由此等式可求得．

（3）根据极限的性质求极限．

（1）由题意第个矩形的高是，∴；

（2）(i)时，，命题成立，

(ii)设时命题成立，即，

则时，

，

∴时命题成立，

综上，时，命题为真，即，

；

（3）．

的几何意义表示函数的图象与轴，及直线和所围曲线梯形的面积．