Question

已知圆.

（1）若圆的切线在轴、轴上的截距相等，求切线方程；

（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，且有（为坐标原点），求使取得最小值时点的坐标.

Answer

（1）或或或；（2）.

【解析】

（1）分两种情况讨论：①直线过原点，设所求切线方程为；②直线在轴、轴上的截距均为，设所求切线方程为.利用圆心到直线的距离等于半径列等式，求出相应的参数，即可得出所求切线的方程；

（2）先由求得点的轨迹方程为，由此可得出当与直线垂直时，最短，求出直线的方程，求出该直线与直线的交点，即为所求的点.

（1）①设圆的切线在轴、轴上的截距均为，则切线过原点，设所求切线方程为，即.

则圆心到切线的距离为，解得：或．

此时，所求切线的方程为或；

②若截距均不为，设所求切线方程为，

则圆心到切线的距离为，解得，

此时，所求切线方程为或．

综上所述，所求切线方程为或或或；

（2）由题意可知，，则，

由得，化简得.

所以，点的轨迹方程为，

要使最小，即最小，过作直线的垂线，垂线方程为，

联立，解得，因此，所求的点的坐标为．