Question

已知函数，，且.

（1）若为整数，且，试确定一个满足条件的的值；

（2）设的反函数为，若，试确定的取值范围；

（3）若，此时的反函数为，令，若对一切实数，，，不等式恒成立，试确定实数的取值范围.

Answer

（1）2 （2） （3）

【解析】

（1）将代入方程,结合指数式与对数式的转化,即可的关于的方程,化简后即可求得一个的值.

（2）根据所给,可求得反函数解析式.根据不等式,先求得右端的最小值及相应的,将代入左段并解不等式即可求得的取值范围

（3）代入可得反函数解析式.将反函数解析代入,即可求得的解析式.利用换元法,将化为的表达式.结合反比例函数单调性及不等式,即可求得的取值范围.

（1）为整数, 且.且

代入可得

即

化简可得

则

所以

故满足条件的的值可以是

（2）的反函数为

则

令,代入可得

则,

所以平方化简可得

所以

则

成立,则即可

令,令,

即,由打勾函数图像与性质可知当时为单调递增函数

所以当时

则不等式化为

即,且且.

化简可得

即,解得

综上可知,的取值范围为

（3）由（2）可知

当时,

代入

可得

令

则

当,即时,函数在上单调递增

所以此时的值域为

若满足对一切实数,,,不等式恒成立

则只需即可,解得

当,即时, ,不等式恒成立

当时,即.函数在上单调递减

此时函数的值域为

若满足对一切实数,,,不等式恒成立

则只需,解不等式可得

综上所述, 的取值范围为