Question

f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x₁，x₂，恒有f（αx₁+（1﹣α）x₂）≤αf（x₁）+（1﹣α）f（x₂），则称f（x）为定义在D上的C函数.

（1）试判断函数f₁（x）＝x²，中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理由；

（2）若f（x）是定义域为的函数且最小正周期为T，试证明f（x）不是R上的C函数.

Answer

（1）是C函数，不是C函数，理由见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据函数的新定义证明f1（x）＝x2是C函数，再举反例得到不是C函数，得到答案.

（2）假设f（x）是R上的C函数，若存在m＜n且m，n∈[0，T），使得f（m）≠f（n，讨论f（m）＜f（n）和f（m）＞f（n）两种情况得到证明.

（1）对任意实数x1，x2及α∈（0，1），有f1（αx1+（1﹣α）x2）﹣αf1（x1）﹣（1﹣α）f1（x2）＝（αx1+（1﹣α）x2）2﹣αx12﹣（1﹣α）x22

＝﹣α（1﹣α）x12﹣α（1﹣α）x22+2α（1﹣α）x1x2＝﹣α（1﹣α）（x1﹣x2）2≤0，

即f1（αx1+（1﹣α）x2）≤αf1（x1）+（1﹣α）f1（x2），

∴f1（x）＝x2是C函数；

不是C函数，

说明如下（举反例）：取x1＝﹣3，x2＝﹣1，α，

则f2（αx1+（1﹣α）x2）﹣αf2（x1）﹣（1﹣α）f2（x2）＝f2（﹣2）f2（﹣3）f2（﹣1）0，

即f2（αx1+（1﹣α）x2）＞αf2（x1）+（1﹣α）f2（x2），

∴不是C函数；

（2）假设f（x）是R上的C函数，若存在m＜n且m，n∈[0，T），使得f（m）≠f（n）.

（i）若f（m）＜f（n），

记x1＝m，x2＝m+T，α＝1，则0＜α＜1，且n＝αx1+（1﹣α）x2，

那么f（n）＝f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2）＝αf（m）+（1﹣α）f（m+T）＝f（m），

这与f（m）＜f（n）矛盾；

（ii）若f（m）＞f（n），

记x1＝n，x2＝n﹣T，α＝1，同理也可得到矛盾；

∴f（x）在[0，T）上是常数函数，

又因为f（x）是周期为T的函数，

所以f（x）在上是常数函数，这与f（x）的最小正周期为T矛盾.

所以f（x）不是R上的C函数.