Question

已知函数，

（1）若对任意，且，都有，求实数的取值范围；

（2）在第（1）问求出的实数的范围内，若存在一个与有关的负数，使得对任意时恒成立，求的最小值及相应的值.

Answer

（1）；（2）当时，的最小值为.

【解析】

（1）利用作差法比较大小即可；

（2）由（1）可知的图象是开口向上,对称轴的抛物线,将对任意时恒成立转化为且,分别讨论和的情况,进而求解即可

（1）依题意知

,

因为,所以,则,即实数的取值范围是

（2）对任意时,“恒成立”等价于“且”,

由（1）可知实数的取值范围是,

故的图象是开口向上,对称轴的抛物线,

①当时,在区间上单调递增,

∴,,则,

要使最小,只需要,

若即时,无解；若即时,

解得（舍去）或

故（当且仅当时取等号）；

②当时,在区间上单调递减,在递增,

,,则,

要使最小,则,即,

解得（舍去）或（当且仅当时取等号）

综上所述,当时,的最小值为