Question

国际上钻石的重量计量单位为克拉；已知某种钻石的价值（美元）与其重量（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元；

（1）写出关于的函数关系式；

（2）若把一颗钻石切割成重量比为的两颗钻石，求价值损失的百分率；

（3）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为克拉和克拉，试用你所学的数学知识分析当，满足何种关系时，价值损失的百分率最大.

（注：价值损失的百分率，在切割过程中重量损耗忽略不计）

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由题意设价值与重量的关系式为 ，再根据一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元，求得系数k即可.

（2）根据比例关系，设两颗钻石的重量为 克拉，计算原有价值是，现有价值是，再代入百分率公式求解.

（3）设两颗钻石的重量分别为克拉和克拉，根据损失百分率公式，先求得原有价值是和现有价值是，再代入公式得到百分率模型，然后用基本不等式求最值.

（1）由题意可设价值与重量的关系式为 ，

因为一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元，

所以 ，

所以 ，

所以关于的函数关系式.

（2）设两颗钻石的重量为 克拉，

则原有价值是，现有价值是，

所以价值损失的百分率为 ，

所以价值损失的百分率为.

（3）设两颗钻石的重量分别为克拉和克拉，

则原有价值是，现有价值是，

所以价值损失的百分率为：，

当且仅当 时，取等号.

即把一颗钻石割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率最大.