Question

函数，

．

（1）若时，判断并证明函数的单调性；

（2）若在上的最大值比最小值大2，证明函数是奇函数；

（3）在（2）的条件下，函数在有零点，求实数的取值范围．

Answer

（1）增函数（2）见解析（3）

【解析】

(1) ，若，恒成立，所以的定义域为R，是R上的增函数．

证明：任取，

因为，，所以，

故，是R上增函数．

(2) 由题意，，当时，，解得，或（舍去）

当时，，无实数解．综上．

由（1）知，此时的定义域为R，定义域关于原点对称，

，所以是奇函数．

(3) 在（2）的条件下，函数

因为，所以，

所以条件等价于在有零点，

令，则，令，则在上单调递增，

因此，，，

设，任取，则，

，

所以在上单调递增，

，即，．