Question

如图，设是平面内相交成角的两条数轴 ，分别是轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，假设.

（1）计算的大小；

（2）设向量，若与共线，求实数的值；

（3）是否存在实数，使得与向量垂直，若存在求出的值，若不存在请说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）先计算出的值，再根据公式，求出；

（2），由已知与共线，根据向量共线的条件，可以得到等式，再根据平面向量基本定理，得到一个二元一次方程组，解这个方程组，可求出实数的值；

（3）假设存在实数，使得与向量垂直，则有：，根据平面向量数量积的运算公式，可以得到一个关于的方程，如果能解出方程，就说明存在，如果方程没有实数根，就说明不存在.

（1） ，

所以

；

（2）若与共线，则存在实数使得

即，由平面向量基本定理得：

，解得

所以实数的值

（3）假设存在实数，使得与向量垂直，则有：

即

，得

所以，存在实数， 使得与向量垂直.