Question

定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径".已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，则平面区域D的“直径”是______.

Answer

【解析】

由两圆上点的距离的最大值为圆心距加上两圆半径可得平面区域D的“直径”就是三个圆的半径之和，也即三角形周长的一半，由正弦定理得，由余弦定理结合基本不等式可得的最大值，从而可得结论．

如图所示，设三个半圆的圆心分别为G，F，E，半径分别为，，，M，P，N分别为半圆上的动点，

连接PM，MG，GF，FP，设的三个内角，，的对边分别为，，.则，

当且仅当M，G，F，P共线时取等号，同理可得，，因为外接圆的半径为1，

，所以，.在中，由余弦定理，可知，即，解得，当且仅当时取等号.

所以，当且仅当时取等号，故平面区域D的“直径”是.

故答案为：