Question

已知抛物线和圆，抛物线的焦点为.

（1）求的圆心到的准线的距离；

（2）若点在抛物线上，且满足， 过点作圆的两条切线，记切点为，求四边形的面积的取值范围；

（3）如图，若直线与抛物线和圆依次交于四点，证明:的充要条件是“直线的方程为”

Answer

（1）4；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）分别求出圆心和准线方程即可得解；

（2）根据条件可表示出四边形的面积，利用函数的单调性即可得解；

（3）充分性：令直线的方程为，分别求出、、、四点坐标后即可证明；必要性：设的方程为，，，，，由可得，即可得出与的关系，进而可得出直线的方程为.

（1）由可得:，的圆心与的焦点重合，

的圆心到的准线的距离为.

（2）四边形的面积为:

，

当时，四边形的面积的取值范围为.

（2）证明(充分性) :若直线的方程为，将分别代入

得，，，.

，.

(必要性) :若，则线段与线段的中点重合，

设的方程为，，，，，

则，将代入得，

，即，

同理可得，，

即或，

而当时，将其代入得不可能成立； .

当时，由得：，，

将代入得，，

，，

，或（舍去）

直线的方程为.

的充要条件是“直线的方程为”.