Question

已知函数（为自然底数），且.

(1)当时，对任意的，都有不等式，求实数的取值范围；

(2)若函数是上的减函数，求的取值范围.

Answer

(1)；(2)

【解析】

（1）根据得，将原不等式化为，推出对任意的恒成立，求出的最大值，即可得出结果；

（2）先由函数单调性的定义，判断函数在上是增函数，根据题意，得到在上恒大于0或恒小于0，进而可求出结果.

(1)当时，，因为，所以，

所以不等式可化为，

即对任意的恒成立，

又在上单调递减，

所以，

因此只需，

即实数的取值范围为.

(2)设，且，

所以

因为，且，所以

即

所以函数在上是增函数，

若要使函数是上的减函数，

则在上恒大于0或恒小于0，

即或，

所以或，

又因为，所以或.

综上，若函数是上的减函数，

则的取值范围是