Question

已知椭圆：，其中，点是椭圆的右顶点，射线：与椭圆的交点为.

（1）求点的坐标；

（2）设椭圆的长半轴、短半轴的长分别为、，当的值在区间中变化时，求的取值范围；

（3）在（2）的条件下，以为焦点，为顶点且开口方向向左的抛物线过点，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）联立方程组，再求解即可；

（2）由椭圆的几何性质可得，，再解不等式即可；

（3）先求出抛物线的方程为，由点在抛物线上可得，再令，则①，其中，则问题可转化为抛物线①在区间上与椭圆有一个交点的充要条件是：，再求解即可.

【解析】
（1）解方程组，

得，

所以；

（2）因为，，所以椭圆的焦点在轴上，，，

由条件，得：，所以；

（3）由题意得：，且抛物线焦点与顶点的距离为，

设抛物线方程为：，那么，

故抛物线的方程为，

因为点在抛物线上，所以，

，

设，因为，所以，

令①，其中，

抛物线①开口向上，其对称轴，

抛物线①在区间上与椭圆有一个交点的充要条件是：，

即，所以，

所以的取值范围是.