Question

已知双曲线：的焦距为，直线（）与交于两个不同的点、，且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.

（1）求双曲线的方程；

（2）若坐标原点在以线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围；

（3）设、分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值.

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）求得双曲线的，由等边三角形的性质可得，的方程，结合，，的关系求得，，进而得到双曲线的方程；

（2）设，，，，联立直线和，应用韦达定理和弦长公式，设的中点为，求得的坐标，由题意可得，应用两点的距离公式，解不等式可得所求范围；

（3）求得，的坐标和的坐标，求得的垂直平分线方程和的方程，联立解得的坐标，求出，即可得证．

【解析】
（1）当直线与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，，又焦距为，则，

解得，，则所求双曲线的方程为.

（2）设，，由，得，

则，，且，

又坐标原点在以线段为直径的圆内，则，即，

即，即，

则， 即，则或，

即实数的取值范围.

（3）线段在轴上的射影长是. 设，由（1）得点，

又点是线段的中点，则点，

直线的斜率为，直线的斜率为 ，又，

则直线的方程为，即，

又直线的方程为，联立方程，

消去化简整理，得，又，

代入消去，得，

即，则，

即点的横坐标为，

则. 故线段在轴上的射影长为定值.