Question

数列与满足，，是数列的前项和（）.

（1）设数列是首项和公比都为的等比数列，且数列也是等比数列，求的值；

（2）设，若且对恒成立，求的取值范围；

（3）设，，（，），若存在整数，，且，使得成立，求的所有可能值.

Answer

（1）

（2）

（3）和

【解析】

（1）直接利用等比数列的定义和等比中项的应用求出结果．

（2）利用累加法和恒成立问题的应用和赋值法的应用求出结果．

（3）利用存在性问题的应用和赋值法的应用求出结果．

【解析】
（1） 由条件得，，即，

则，，设等比数列的公比为，

则，又，则.

当，时，，，

则满足题意，

故所求的的值为.

（2）当时，， ，，，

以上个式子相加得，，

又，则，

即. 由知数列是递增数列，

又，要使得对恒成立，

则只需，即，则.

（3） 由条件得数列是以为首项，为公差的等差数列，

则，，

则.

则，

当时，，

即时，，

则当时，与矛盾.

又，即时，.

当时，，

又，

即当，时，，与矛盾.

又，则或，

当时，，解得；

当时，，解得.

综上得的所有可能值为和.