Question

已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若的图象与直线交于，两点，且，求实数m的取值范围.

Answer

(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2).

【解析】

(1)先求导数，根据，以及三种情况讨论导函数符号，进而确定对应单调性；

(2)先构造函数，再求导数，根据以及两种情况讨论函数单调性，结合单调性确定满足条件的不等式，解得m的取值范围，最后利用零点存在定理证明所求范围恰好保证函数有两个零点.

(1)依题意，，.

①若，则，故在上单调递减

②若，令，解得或.

（i）若，则，，则当时，，单调递减，当时，，单调递增；

（ii）若，则，，则当时，，单调递减，当时，，单调递增.

综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

(2)令，则由题意可知有两个大于1的实数根，显然.

令，则.

若，则当时，，当时，，

要满足已知条件，必有此时无解；

若，则当时，，当时，，

要满足已知条件，必有解得.

当时，在上单调递减，，故函数在上有一个零点.

易知，且，下证：.

令，则，当时，，

当时，，故，即，

故，故，

又在上单调递增，故在上有一个零点.

综上所述，实数m的取值范围为.