Question

已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于、两点.

（1）求实数的取值范围；

（2）若，点，求的值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）将曲线的极坐标方程化为普通方程，将直线的参数方程化为普通方程，可知曲线为圆，利用圆心到直线的距离小于半径，列出关于实数的不等式，解出即可；

（2）将直线的参数方程化为（为参数），将该参数方程与曲线的普通方程联立，列出韦达定理，并利用的几何意义可计算出的值.

（1）曲线，故，则，

即，直线，

故圆心到直线的距离，解得，

即实数的取值范围为；

（2）直线的参数方程可化为（为参数），

代入中，得.

记、对应的参数分别为、，则，.

故.