Question

如图所示，在长方体中，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点F，给出下列命题：

①四棱锥的体积恒为定值；

②对于棱上任意一点E，在棱上均有相应的点G，使得平面；

③O为底面对角线和的交点，在棱上存在点H，使平面；

④存在唯一的点E，使得截面四边形的周长取得最小值.

其中为真命题的是____________________.（填写所有正确答案的序号）

Answer

①③④

【解析】

①将四棱锥转化为2个,进而求解判断即可；②找到反例即可；③利用中位线证明即可；④将四边形的周长的最值转化为的最值,进而求解即可

①,

又三棱锥为三棱锥,则底面不变,且因为平面,故点到底面的距离即三棱锥底面的高不变,故三棱锥的体积不变,所以四棱锥的体积不变,恒为定值,故①正确；

②当点在点处时,总有与平面相交,故②错误；

③由O为底面对角线和的交点,则,设为的中点,则在中,所以平面,故③正确；

④四边形的周长为,则分析即可,将矩形沿着展开使得在延长线上时,此时的位置设为,则线段与的交点即为截面平行四边形的周长取得最小值时唯一点,故④正确；

故答案为:①③④