Question

如图所示，在长方体中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题：

①四棱锥的体积恒为定值；

②存在点，使得平面； 

③对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面；

④存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值.

其中真命题的是____________．（填写所有正确答案的序号）

Answer

①②④

【解析】

对①,将四棱锥分成两部分与分析即可

对②,根据线面垂直的判定,注意用到再利用线面垂直与线线垂直的判定即可.

对③,举出反例即可.

对④,四边形的周长,展开长方体分析最值即可.

对①,,又三棱锥底面

不变,且因为∥底面,故到底面的距离即上的高长度不变.故三棱锥体积一定,即四棱锥的体积恒为定值,①正确.

对②,因为,且长方体,故四边形为正方形,

故.要平面则只需,又,故只需面.

又平面,故只需即可.因为,故当 时存在点,使得,即平面.故②正确.

对③,当在时总有与平面相交,故③错误.

对④,四边形的周长,分析即可.

将矩形沿着展开使得在延长线上时,此时的位置设为,则线段与的交点即为使得截面四边形的周长取得最小值时的唯一点.故④正确.

故答案为：①②④