Question

如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，，为中点，且.

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）先由面面垂直的性质，证得平面，得到，在由正方形的性质，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可得到；

（2）过作于，连接，得到为与平面所成角，再结合三角形相似，即可求解．

（1）因为平面平面，平面平面，，

∴平面，又由平面，∴，

∵为正方形，∴，

又∵，∴平面，∴.

（2）过作于，连接.

由（1）得平面，∴，

又，所以平面，

∴为与平面所成角，

∴，，，∴，，

由∽，可得，∴，

∴