Question

已知为坐标原点，椭圆：的焦距为，直线截圆：与椭圆所得的弦长之比为，椭圆与轴正半轴的交点分别为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点（且）为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，直线，分别交轴于点，.试判断是否为定值？若是求出该定值，若不是定值，请说明理由.

Answer

（1）；（2）是，定值为4

【解析】

（1）由焦距可知c的值，直线截圆：的弦长是2a，截椭圆的弦长由直线和椭圆方程联立，利用韦达定理可以求出，根据两段弦长之比为可以求出a，即得；（2）A点坐标是椭圆与轴正半轴的交点，可以由（1）得出，点关于轴的对称点为，分别求出直线AB和直线AC的方程，可得两直线与x轴的交点M，N的坐标，最后得出为定值。

（1）依题意：，，直线与圆相交弦长为直径.

又∵，∴弦长为，

∴有.又，∴求得，.

∴椭圆的标准方程：.

（2）由（1）可知，点的坐标为，

直线的方程为，令，得.因为点关于轴的对称点为，所以.

所以直线的方程为，令，得.

∵.

又∵点在椭圆上，所以，即.

∴是否为定值，求得定值为4.