Question

如图，已知正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证：

（1）BE⊥CF;

（2）AP=AB.

Answer

（1）见试题解析；（2）见试题解析

【解析】

(1) 如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1)，再求出和的坐标，再计算得=0即证

BE⊥CF.(2) 设P(x,y),再根据已知求出P，再求=4=，即证明AP=AB.

如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,

则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).

(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2),

=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),

∵=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,

∴,即BE⊥CF.

(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).

∵,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.

同理由,得y=-2x+4,代入x=2y-2,

解得x=,∴y=,即P.

∴=4=,

∴||=||,即AP=AB.